電子の熱伝導(Wiedemann–Franzの法則)

　自由電子の熱伝導についてよく知られた法則として、Wiedemann–Franzの法則があります。これは、金属の電気伝導度σ、温度Tの時、熱伝導率κが、

κ=σLT

となるという法則です。ここでLはローレンツ数と呼ばれる比例定数です。一般にローレンツ数はL=2.44×10-8[V2K-2]となることが知られています。

　Wiedemann–Franzの法則は古典的にはドルーデモデルから導出するが、自由電子フェルミ気体からの議論の方が正確なのでそちらを採用することにする。まず自由電子が熱キャリアとなる時、その熱伝導率κは電子の速度νF、単位体積当たりの熱容量C、平均自由行程λを用いて、

κ=νFCλ/3

となる。ここで自由電子の熱容量は、

C=π^2kB^2T/2EF

と書かれる。ここでEFはフェルミエネルギーである。自由電子の質量をmとすれば、EF=mνF^2/2より、

κ=π^2/3*nkB^2T/mνF^2*νFλ=π^2nkB^2Tτ/3m

ここでτは衝突時間を表し、λ=νFτである。また、nは電子の濃度である。一方、フェルミ気体論では電気伝導度σは、

σ=ne^2τ/m

なので代入して整理すると、

κ=σπ^2/3*(kB/e)^2T

と書ける。従ってローレンツ数は、

L=π^2/3*(kB/e)^2

となる。

　一般に、Wiedemann–Franzの法則は高温と低温でよく成り立つと言われている。じゃあ高温と低温って具体的に何Kなんですか？というと、それは物質ごとに異なるとしか言いようがないのが悲しいところである。法則の修正としてローレンツ数に補正を掛ける研究は非常に多種多様なものがあるので、是非原著論文を探してみて欲しい。

　余談だが、単純なドルーデのモデルからWiedemann–Franzの法則を計算しようとするとローレンツ数は

L=3/2(kB/e)^2=1.11×10-8[V2K-2]

となって実験結果と全く合わない。実はドルーデによる導出[1]には係数に計算間違いがあったとされておりローレンツ数として、

L=3(kB/e)^2=2.22×10-8[V2K-2]

という計算がなされている。これは偶然にも実験結果をよく再現する。計算を間違ったが故に現実が説明できてしまい、これによって電子の研究が発展したというのだから皮肉なものである。

[参考文献]

[1] P. Drude, “Zur Elektronenthorie der Metalle“, Annalen der Physik, 1900, pp. 566-613.